循環小数のつかいかた

　普段の話題と全く関係ないですが、今回はちょっとmime-TeXの練習を兼ねて、小飼弾氏出題の数学の問題を解いてみます。
　問題はこちら。

次の条件を双方とも満たす整数が存在することを証明しなさい。

　　a.　1987を約数として持つ
　　b.　十進法表記で、0と1だけ登場する

　この問題のキモは小数表現です。例えば1÷22を計算すると、0.045454545…のように循環する部分が出現します。
　これをうまく使えば割と簡単に解けます。以下解答。

$\frac1{1987}$ 　を十進法の循環小数で表したものを　 $0.A_1A_2\cdots A_k\dot{B_1}B_2\cdots\dot{B_{n-1}}$ 　とする。

ここで、小数の非循環部分　 $A_1A_2\cdots A_k=\alpha$ 　
循環部分　 $B_1B_2\cdots B_{n-1}=\beta$ 　と置くと

$\frac1{1987}=\frac1{10^k}\left(\alpha+\frac\beta{10^n-1}\right)=\frac{\alpha\cdot10^n-\alpha+\beta}{10^k\cdot(10^n-1)}$

よって

$\begin{eqnarray*}1987(\alpha\cdot10^n-\alpha+\beta)&=&10^k(10^n-1)\\&=&10^k(10-1)(10^{n-1}+\cdots+10^2+10+1)\\&=&9\cdot10^k(10^{n-1}+\cdots+10^2+10+1)\end{eqnarray*}$

$1987$ は $3$ を約数に持たないので、　 $\alpha\cdot10^n-\alpha+\beta$ 　が $9$ の倍数となる。

そこで、　 $\alpha\cdot10^n-\alpha+\beta=9m$ 　（ $m$ は自然数）とすれば

$1987m=10^k(10^{n-1}+\cdots+10^2+10+1)$

となる。これは十進法で $0$ と $1$ しか出てこない数であり、かつ $1987$ の倍数である。（証明終）

　~~というわけで、この問題は1987である必要はなく、どんな自然数を持ってきても同じことが言えます。~~
　本来は「有理数の循環小数表現」をきちんと証明しないといけないんですが、まぁ一般に知られてる範囲だしいいかな、と。

　ちなみに、小飼弾氏のところのコメント欄に「1987×554101666331153＝1101000011000001011」という手計算(？)による解答を出した人が居て驚きました。この場合は存在証明だから、これでも証明したことになりますね。

　小飼弾氏、こんなところで如何でしょうか？

（8/7追記）

　こちらでoto-oto-oto氏が任意の自然数の場合を証明しておられます。上のやり方だと3の倍数の場合がうまく行かないんですね。
　mime-TeXで書き換えて載せておきます。

上の証明手順で、 $1987$ を $p$ に置き換えると

$p(\alpha\cdot10^n-\alpha+\beta)=9\cdot10^k(10^{n-1}+\cdots+10^2+10+1)$ 　となる。

十進法において各桁の数の合計が $9$ の倍数となる自然数は、それ自体 $9$ の倍数であるから
$r=k+n-1$ として

$10^{8r}+10^{7r}+10^{6r}+10^{5r}+10^{4r}+10^{3r}+10^{2r}+10^r+1$

は $9$ の倍数である。これを $9N$ と置くと

$\begin{eqnarray*}pN(\alpha\cdot10^n-\alpha+\beta)&=&9N\cdot10^k(10^{n-1}+\cdots+10^2+10+1)\\&=&10^k(10^{8r}+10^{7r}+\cdots+10^r+1)(10^{n-1}+\cdots+10^2+10+1)\end{eqnarray*}$

これは $10^k(10^{n-1}+\cdots+10^2+10+1)$ を $9$ 個並べてできる自然数なので $1$ と $0$ のみから成り、かつ $p$ の倍数である。（証明終）